Родился 12 февраля 1963 года в городе Шахрихан в Узбекистане, воспитывался в многодетной семье без отца. В 1981 году окончил школу, после нее два года служил в армии.

С юных лет Азамат Эюпов мечтал вернуться на родину дедов и прадедов. Участвовал в акциях протеста в Москве на Красной Площади в период с 1987-1989. В 1988 году он переехал в Крым. 

Азамат Эюпов женат, у него четыре дочери, одна из которых инвалид I группы с детства, и трое внуков.

С момента переезда в Крым и до ареста Азамат выполнял строительно-ремонтные работы. Он единственный кормилец в семье и имеет на иждивении дочь-инвалида, которая нуждается в постоянном уходе.

Азамат Эюпов вёл активную общественную деятельность и никогда не был безразличен к чужой беде. 10 июля 2019 года уже во второй раз стоял на Красной Площади в Москве с плакатом: «Наши дети не террористы. Stop репрессии против крымских татар», участвовал в пикетах в поддержку политзаключенных и посещал суды над крымскими татарами.

Азамат Эюпов был задержан 17 февраля 2021 года в городе Белогорск. В этот день в домах крымских татар мусульман, в Белогорске, Бахчисарае, Симферополе, Севастополе и Советском районе сотрудники ФСБ провели обыски с последующим задержанием семерых человек, одного из которых позже отпустили. 

Мужчине вменяется ч. 1 ст. 205.5 УК РФ (организация террористической деятельности), за которую ему грозит от 15 до 20 лет лишения свободы.

«Мой подзащитный не признает вину, и отстаивает позицию применения к нему IV Женевской конвенции, как к гражданину Украины. Как гражданский активист Азамат уверен, что в отношении него ведется политическое преследование», — передает адвокат Эмиль Курбединов.